混沌理論與碎形結構 @ 混沌、操作與人生

混沌(chaos)為一種『看似隨機』的非線性確定過程。所謂非線性是指混沌乃非線性動力系統的一種；所謂『確定』是說我們可以寫出混沌軌跡的支配方程式。在傳統牛頓式的科學架構下，可決定性(deterministic)與可預測性(predictable)是一體的，因為一旦寫出支配方程式，預測便易如反掌；但在混沌系統內，雖然可以寫出支配方程式，系統仍不可預測，其主要原因是混沌屬於碎形結構，換句話說，混沌的支配方程式是透過疊代作用而影響可預測性。

一般而言，科學界對混沌所下的定義為：

定義1：一種對初始條件具有敏感性相依的系統。

舉例來說，一個簡單的線性系統中，若初始值產生一個微小的差異，此一差異雖然會傳遞到每一點上，但不會偏離原方程式的估計值；若此一差異為隨機產生的，則對系統並無任何影響，即殘差值彼此是獨立的，並且符合iid的假設。但是系統如果為一個混沌系統，則其初始值之微小差異會經由非線性函數的疊代作用而迅速放大，使預測陷於混亂狀態，因此，系統的殘差值將呈現異質性的情形。

一般而言，混沌的性質大略可歸納為以下四點：

(1)混沌系統為一種非線性動力系統。

(2)具有一個或多個混沌吸子（chaotic attractor）。

(3)對初始值及參數具有強烈的敏感性。

(4)必須為碎形結構。

碎形

碎形幾何學(fractal geometric)是由拓樸學發展出來的一門新科學，但自從在自然科學界發現大量的碎形結構及混沌現象，同時此一發現與自然界許多複雜及異常現象相符，遂逐漸受到科學界的重視。

碎形的名稱是來自於拉丁字『殘破的（fractus）』(Mandelbrot,1975)。目前科學界對碎形所下的操作型定義(working definition)為：

定義2：一個物體的部份與整體具有某種特定的關係，亦即個體在不同尺度上部份與整體具有相似的行為。

技術上我們稱之為『自我相似』(self-similarity)，理論上則稱為『尺度相關』(scale relation)。

碎形是由無窮細節、無限長度、無斜率及導數、碎形維度及自我相似性等特性來加以描述，通常可以用疊代法(iterated)產生。碎形的維度都是分數的，碎形形狀在小之又小的尺度上不斷展現出系統的自我相似性。

由於碎形自我相似的特性，當我們觀察股票價格的波動圖形時，便不難發現經由長期觀察歸納的許多技術分析的法則，赫然出現在歷史中若干不同的時期；同時，若由不同尺度加以觀察，相同的現象亦反覆出現，如根據此一碎形之操作型定義，股票市場的價格行為及其變動模式隱含碎形結構，似乎具有某種程度的說服力。因此，我們將探討如何界定及辨識一序列是否為碎形的方法。

維度與吸子

由於碎形的觀念來自於自然科學，因此，要了解碎形，必須從碎形所存在的相空間(phase space)及其維度的認識開始，本節並將說明吸子(attractor)的性質及種類。下面是對相空間的定義：

定義3：一個相空間ｘ為一種組合。此一空間上的點為此組合的元素(element)。

定義4：系統在任一固定時刻的狀態，可以用相空間中的一點標示，該點之座標值記載了所有關於位置及速度等資料。

以一簡單的鐘擺來說明：如果在一個完美的封閉系統中，鐘擺會以相同震幅及頻率不停地擺盪下去。若我們以位置及動量作為衡量的構面，則鐘擺的運動軌跡形成一個橢圓。若此一運動週而復始，則相空間的軌跡為一封閉的曲線。如果我們將空氣阻力及摩擦力考慮至此一簡單系統之中，其運動將會慢下來以至於停止，則此一封閉的軌跡將被破壞而衰退，直到停止。換言之，吸子就是相空間中能對一系統產生吸引作用的區域。

古典經濟學理論中，供需模型所形成的價格行為之相空間軌跡，如同一個定點吸子，最後將成『靜止』狀態(即靜態均衡)，如果我們給定一個初始價格，最後將落於供需曲線的交點。不同序列的相空間軌跡圖形應不相同，因此基本上可分為四種類型：即定點(Point)、週期(Periodic)、近似週期(Quasi-periodic)、及混沌(Chaos)等。每一種吸子都有其相對應的維度，依據傳統的定義：一個點的維度是零，一條線或一個邊界的維度是一，而一個平面的維度是二。任何一個確定性(deterministic)系統都能在足夠大的嵌入維度(embeded dimension)中，描繪出相對應的相空間軌跡，反之一個隨機系統則將充滿任一嵌入維度，因此利用估計吸子的維度可用來辨識序列的型態。

碎形結構

碎形存在自然界的任何地方，如雪花、海岸、波浪、雲、樹等，過去一直被認為是經由隨機過程產生的自然現象，在今天都能利用碎形結構加以分析及模擬。最常用來解釋碎形及其產生過程的方法為圖形(map)，如Contor set,Koch island及Sierpinski Triangles等。

利用碎形來形成一個序列，可以產生接近隨機的情形，如果一個在二度空間的碎形系統為Sierpinski Triangle，則其軌跡投射在一維空間中所表現出來的行為就非常接近一個隨機系統。換言之，在n維空間中若為碎形結構的確定系統，在n-1維空間中將可能出現隨機行為的情形。反之，一個真正的隨機系統的軌跡將充滿任一維度的空間。

經濟學家傳統上認為價格的變化不論是快或慢，從一點到另一點的變動必須是平滑的，這種運作的概念來自於物理學，如同許多應用於經濟學的數學一樣。然而這種看法是錯誤的，價格實際上會突兀地跳動。Mandelbrot利用碎形觀念模擬出幾可亂真的股價圖，顯示出歷史上幾次經濟大蕭條，事實上是模仿每月和每天的價格變動，所以從最小到最大的尺度上，市場本身是自我模仿的。

碎形的觀念逐漸擴散至各個領域，同時也是一種剛起步的研究所憑恃的新方法學，以及對整體了解的新形象。它將會揭露出隱藏在規律內部的混沌，以及穩定及秩序是用什麼方法從紊流及機率中出現。

近年相關研究

資本市場之價格的決定是否為一種隨機過程，在1986年以後逐漸變成一個熱門的話題，雖然到目前為止仍無法找到有力的證據拒絕效率市場假說，但Fama(1989)亦承認在某些條件下，市場是可以預測的。自從Mandelbrot提出碎形幾何學以來，已有越來越多的學者投入在混沌及碎形結構的研究中，雖然至今仍無一致的結論，但是此一研究方向顯然已受到學術界的重視。

越來越多人針對混沌理論與碎形結構探討各種金融市場的價格行為，甚至衍伸出操作法，許多專書也逐漸把市場的混沌現象納入考慮，如Lars Tvede在其「金融心理學」(The Psychology of Finance)中直接就表示:

『波動的總合是一種定態混沌(deterministic chaos)，雖然這種混沌系統中的內生動力很難預測，但並非完全不可能。』

『如果我們運用傳統研究方法檢驗混沌系統，會得到隨機波動的錯誤結論。有效掌握金融市場動能的模型架構並非隨機漫步，而是定態混沌。越來越多的科學家開始測試市場的混沌程度，並且確認了這種現象。』

『混沌是指多數的經濟系統無法進行客觀性或數量化的長期預測。就是這麼簡單，在抵檔時間和未知神祕力量時，我們只能轉而依賴個人主觀的猜測，這當然與我們的主觀情緒有很大的關聯，例如希望、害怕和貪婪。』

『總結時間與未知神祕力量的基本法則:

法則一:市場率先反應經濟。

法則二:市場是非理性的。

法則三:混沌主宰一切。

法則四:圖形會自我實現。』

近年來研究此一課題的文獻也有越來越多的現象，雖然有些認為足以提供市場屬於Chaos System的證據，但也有不少學者認為應該只是非線性隨機系統，相關的研究如Hsieh,1989; Peters,1989; Scheinkman & LeBaron,1989; Blank,1991; Hsieh, 1991; Larrain, 1991; Vaidyanathan & Krehbiel, 1992; Willey,1992; Decoster, Labys & Mitchell, 1992; Gilmore, 1993; Brorsen & Yang, 1994; Abhyankar, Cpoeland & Wong,1995; Papaioannou & Karytinos, 1995; Sewell, Stansell, Ahmed, Rosser & Uppal, 1996; Cecen & Erkal, 1996; Abhyankar, Cpoeland & Wong, 1997; Kohers, Pandey & Kohers, 1997; Serletis & Gogas, 1997; Chwee, 1998; Barkoulas & Travlos, 1998; Barnett & Serletis, 2000; Gilmore, 2001; McKeniie, 2001; Belaire-Franch, Contreras & Tordera-Lledo, 2002; Stozzi, 2002, McBride, 2005; Yudong & Lenan, 2009; Zhang & Dong, 2010; Mishra, Schgal & Bhanmurthy, 2011.

國內實證研究

依據筆者在1994年針對國內加權指數實證研究之結果，大致上可歸納出以下的結論：

實證結果有強烈證據拒絕股價分配之獨立一致性假設，亦即市場價格之決定不是隨機產生的，換言之，股票市場之價格存在某種確定型式之序列相關，顯然投資人視過去之價格為一種重要之資訊來源。
拒絕iid假設之原因既非價格序列存在自我相關，亦非資料間的變異數異質性因素。然而，究竟是何種因素導致證券之報酬率拒絕獨立一致性假設，由於在本研究中僅配適兩種異質性變異數自我回歸模型，並無法說明是否更複雜之非線性隨機模型是否亦有相同之結論，因此，就研究之結論而言，只能說拒絕iid之原因，可能是市場隱含某種特定的結構。
如果利用相關維度分析法估計市場之碎形維度，台灣股票市場之相關維度約在6～7之間，雖然確實的數字仍有待更進一步的確認，但基本上市場之相關維度是收歛的。
研究結果證實價格序列符合碎形結構之條件，顯示市場價格之變異性來自於市場之自我相似的特性。
研究所配適之線性及非線性隨機模式的配適，對序列之相關維度並沒有影響。
我們可以預期股票市場仍無法避免突然地異常變動，亦即類似1987年股市崩潰前後的情形，會不斷地在未來、在任何尺度上重複出現，而利用對圖形之觀察歸納的技術分析亦可以獲得超額報酬。

然而，我們也必須強調，由於尺度的變化難以估計，技術分析失敗的機率仍舊很大，因此證實股價存在碎形結構並不代表傳統理論之避險策略可以棄而不用，相反地，正因為碎形結構會造成股市突然地巨大變動，更需要避險策略的保護，同時Peters(1991)亦指出：除非在財務理論的研究上能獲得突破性的進展，否則對目前而言，CAPM及APT仍是定價理論之最佳模式。